Función Proposicional
Supongamos tenemos
los enunciados abiertos:
Estos
no tienen un valor veritativo.
Pero
si en el primero de ellos hacemos x
= Lima, tenemos:
"Lima es la capital del Perú" (V)
Asimismo,
si en el segundo hacemos x = 9,
resulta: 9 + 4 = 11 (F)
Podemos, entonces, dar la siguiente definición: "Una
función proposicional es un enunciado abierto de la forma P(x) que
se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la
variable". (Valle, 2010)
Ejemplos:
p(x) : 2x + 5 > 11 , si x = 4 → 13 > 11 (Verdadero)
q(x) : 3x
+ 7 = 11 , si x = 5 → 22 = 16 (Falso)
Cuantificadores
A
partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales
mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x,
introducimos los símbolos " x y $ x,
llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente.
Las expresiones
Para todo x, se verifica p(x) se
denota por " x : p(x)
Existe x,
tal que se verifica p(x) se denota por $ x / p(x)
Corresponden
a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en
el primer caso, y existencialmente en el segundo.
Ejemplo:
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V
todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la
verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea
verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.
Un
problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas.
Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen
enteros que no son impares" y en símbolos: $ x / ~ p(x)
Entonces,
para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el
cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional.
Ejemplo: Supongamos
la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados
La
vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al
lenguaje ordinario.
Nos
damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones
proposicionales:
p(x) :
es alumno de mi colegio
q(x) : es aplicado
Tenemos: " x
: p(x) Þ q(x)
Teniendo
en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada
universalmente y una implicación resulta:
$ x / p(x) Ù ~ q(x)
Baldera, O. (20 de 04
de 2015). Función proposicional y cuantificadores. Obtenido de Función
proposicional y cuantificadores:
https://prezi.com/ve-tui7-q-gv/funcion-proposicional-y-cuantificadores/
Valle, E. (05 de 2010). Cuantificadores. Obtenido de Programa Nacional de Formación y
Capacitación Permanente:
https://eduvallepereyra.files.wordpress.com/2010/05/cuantificadores.doc
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